九章算术-第1部分

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《九章算术》


九章算术注序（刘徽）

昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六

爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后

两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有

九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北

平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故

校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之

割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作

注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以

辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者

以宾兴贤能，教习国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传，

亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未

必能综于此耳。《周官·大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓

之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表

望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以

博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝

深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳

之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间

为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法

而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即

日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句

率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山

之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以

阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者

重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡

伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。

卷一

○方田（以御田畴界域）

今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。

〔图：从十四，广十二。〕

方田术曰：广从步数相乘得积步。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义

同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名

责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者

举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之

本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存

善去非，略为料简，遗诸后学。〕

以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一

亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而

截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，

凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。

二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕

今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即

得亩数也。〕

今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

○约分

〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。

设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则

异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕

术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，

求其等也。以等数约之。

〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕

今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三

分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得

二、六十分之四十三。

○合分

〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细

既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕

术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。

〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，

然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母

互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，

势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通

体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错

综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同

以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕

实如法而一。不满法者，以法命之。

〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得

知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕

其母同者，直相从之。

今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。

○减分

〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰

减分。〕

术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，

同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕

今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六

多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三

分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八

多，多一千五十分之四十三。

○课分

〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕

术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意

与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕

今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减

四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减

三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

○平分

〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平

分也。〕

术曰：母互乘子，

〔齐其子也。〕

副并为平实。

〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，

限为平。〕

母相乘为法。

〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕

以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。

淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三

重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕

以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之

四。

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：

人得二钱八分钱之一。

○经分

〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以

人数分所分，故曰经分也。〕

术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。

〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。

乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，

自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令

两分母相乘法实也。〕

重有分者同而通之。

〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内

子，又令分母互乘上下。〕

今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十

二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。

○乘分

〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕

术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃

为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各

当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十

匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤

之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五

匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十

二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，

犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求

齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之

三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则

三术同归也。〕

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百

二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：

一亩二百步十一分步之七。

○大广田

〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；

此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕

术曰：分母各乘其全，分子从之，

〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕

相乘为实。分母相乘为法。

〔犹乘分也。〕

实如法而一。

〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘

为法而连除之。〕

今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十

三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中

平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕

今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。

〔并而半之者，以盈补虚也。〕

今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩

一百三十五步。

又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几

何？答曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。

〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕

今有圆田，周三十步，径十步。

〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径

九步十一分步之六。〕

问为田几何？答曰：七十五步。

〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。

淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕

又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。

〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步