九章算术-第4部分

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今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答

曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减

法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。

〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱，

一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘

钱，反其率也。

淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其

率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满

法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。

法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多，

乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕

卷三

○衰分（以御贵贱禀税）

衰分

〔衰分，差也。〕

术曰：各置列衰；

〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕

副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。

〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适

足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所

有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并

六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。

今此术先乘而后除也。〕

不满法者，以法命之。

今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，

问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一

鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。

术曰：列置爵数，各自为衰。

〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令

篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕

副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。

〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，

即得。〕

今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主

曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升

之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。

术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自

为实。实如法得一斗。

〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一

马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕

今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，

关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之

四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得

一钱。

〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为

所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕

今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十

一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次

日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自

为实。实如法得一尺。

今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十

六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣

一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十

二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十

五分人之八千七百九。

术曰：各置算数为列衰，

〔淳风等按：三乡算数，约，可半者，为列衰。〕

副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人。

〔按：此术，今有之义也。〕

今有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫

一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？答曰：大夫出一斗四

分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗

之一。

术曰：各置所禀粟斛，斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五

斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗。

〔禀前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗，

公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来

大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，

凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有

率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。〕

今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？答曰：三

人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。

术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各

自为实。实如法得一斛。

反衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。

今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以

次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱

一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出

二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百

九。

术曰：置爵数，各自为衰，而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为

实。实如法得一钱。

〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一人受五分，

不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以

五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一人分，不更四人共出一人

分，故谓之反衰。人数不同，则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子，则动者为

不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。以所分乘未

并者，各自为实。实如法而一。〕

今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？

答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。

术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰，而反衰之。副并为法。

以九升乘未并者，各自为实。实如法得一升。

〔按：此术，三人所持升数虽等，论其本率，精粗不同。米率虽少，令最得

多；饭率虽多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。于今有术，副并为所

有率，未并者各为所求率，九升为所有数，而今有之，即得。〕

今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？答曰：

五斤八两一十二铢五分铢之四。

术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。

〔按：此术今有之义，以一斤价为所有率，一斤为所求率，今有钱为所有数，

而今有之，即得。〕

今有丝一斤，价直三百四十五。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？答曰：

一百六十一钱三十二分钱之二十三。

术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率，价钱为所求率，今

有丝为所有数，而今有之，即得。〕

今有缣一丈，价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？答曰：

六百三十三钱五分钱之三。

术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率，价钱为所求率，今

有缣寸数为所有数，而今有之，即得。〕

今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？答曰：八十

四钱八分钱之三。

术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率，价钱为所求率，今有

布为所有数，今有之，即得。〕

今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？答曰：得素

一匹。

术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以价钱为所有率，五丈尺数为所求率，今有

钱为所有数，今有之，即得。〕

今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？

答曰：三十二斤八两。

术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率，一十斤为所求率，

今有丝为所有数，而今有之，即得。〕

今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？答曰：一百六十三

两四铢半。

术曰：以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率，七两为所求率，

今有丝为所有数，而今有之，即得。〕

今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？

答曰：一十三斤一十一两十铢七分铢之二。

术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。

〔馀四百二十两，即干丝率。〕

三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

〔凡所得率，如细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。故品物不同，如上缣、

丝之比，相与率焉。三十斤凡四百八十两，今生丝率四百八十两，今干丝率四百

二十两，则其数相通。可俱为铢，可俱为两，可俱为斤，，无所归滞也。若然，

宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者，使干丝以两数

为率，生丝以斤数为率，譬之异类，亦各有一定之势。

淳风等按：此术，置生丝两数，除耗数，余即干丝之率，于今有术为所有率；

三十斤为所求率，干丝两数为所有数。凡所为率者，细则俱细，粗则俱粗。今有

一斤乘两知，干丝即以两数为率，生丝即以斤数为率，譬之异物，各有一定之率

也。〕

今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟

几何？答曰：八斛四斗四升一十二分升之五。

术曰：以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟

数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以一亩步数为所有率，六升太半升为所求率，

今有田积步为所有数，而今有之，即得。〕

今有取保，一岁价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？答曰：一

百六十九日二十五分日之二十三。

术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。

〔淳风等按：此术亦今有之义。以价为所有率，一岁日数为所求率，取钱为

所有数，而今有之，即得。〕

今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？答

曰：六钱四分钱之三。

术曰：以月三十日乘千钱为法。

〔以三十日乘千钱为法者，得三万，是为贷人钱三万，一日息三十也。〕

以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。

〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱，于今有术为所有数，息三十为所求率；

三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱，为十分一日，以乘今一日所

有钱为实；千钱为法。为率者，当等之于一也。故三十日或可乘本，或可约息，

皆所以等之也。〕

卷四

○少广（以御积幂方圆）

少广

〔淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其

广，故曰少广。〕

术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，

〔淳风等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。〕

各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆

通而同之。并之为法。

〔淳风等按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多，若用乘

则算数至繁，故别制此术，从省约。〕

置所求步数，以全步积分乘之为实。

〔此以田广为法，以亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法

实，而并齐于法。今以分母乘全步及子，子如母而一，并以并全法，则法实俱长，

意亦等也。故如法而一，得从步数。〕

实如法而一，得从步。

今有田广一步半。求田一亩，问从几何？答曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之，得三，为法。置田

二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百三十步一

十一分步之一十。

术曰：下有三分，以一为六，半为