九章算术-第6部分

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“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方

等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定

法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据

开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，

当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借

一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，

中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法

无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当

令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，

以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以

两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如

前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开

者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法，

以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分

母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如

母而一，得全面也。〕

今有积四千五百尺。

〔亦谓立方之尺也。〕

问为立圆径几何？答曰：二十尺。

〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几

何？答曰：一万四千三百尺。

〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立

圆径。

〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆

囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。

置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，

九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何

以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，

高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按：合

盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？

以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以

九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，

而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正

理。敢不阙疑，以俟能言者。

黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官·

考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之

然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开

方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。

倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句，

并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之

长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘

其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命

得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘

之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十

五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二

十五尺之面也。

张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，

开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽

令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之

率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑，

谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆

囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密

矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得

积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内

质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤

多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二

尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方

周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率

五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四

尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故

更著此法，然增周太多，过其实矣。

淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新

法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取

立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而衡规之，去其前

上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

规更合四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，

其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂，

余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋

之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，

借况以析微。按：阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂

数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁

蹙为一，即一阳马也。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一

大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较

然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽

循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，

十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。

凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕

卷五

○商功（以御功程积实）

今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一

万二千五百尺。

术曰：穿地四为壤五，

〔壤谓息土。〕

为坚三，

〔坚谓筑土。〕

为墟四。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕

以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。

〔今有术也。〕

以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之；

皆三而一。

〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、

壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕

城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

术曰：并上下广而半之，

〔损广补狭。〕

以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘

之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕

今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地

下广几何？答曰：三尺五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。

〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕

以深、袤相乘，

〔为深、袤之立实也。〕

又三之，为法。

〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕

所得，倍之。

〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知，

两广全也。〕

减上广，余即下广。

〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。

深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率

并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，

故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕

今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答

曰：一百八十九万七千五百尺：

今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？

答曰：六千七百七十四尺。

今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰：

七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四

千三百七十五尺。

春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。

问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。

〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕

以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出

土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实

里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。

问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。

〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文

欲从易，非其常定也。〕

夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二

百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人

之四百九。

术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。

以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又

去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。

以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二

十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十

四尺四寸。

一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。

〔以一千人一日功为实。立实为功。〕

并渠上下广而半之，以深乘之，为法。

〔以渠广深之立实为法。〕

实如法得袤尺。

今有方堡壔，

〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕

方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二

尺。

〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又

以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而

以高乘幂也。

淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕

今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六

百六十六尺太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

〔此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。

假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，

四角阳马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四

面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵

各二、四角阳马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡

三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵阳马各十二，

凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验