九章算术-第8部分

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〔于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。

淳风等按：依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕

委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

〔此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百

四十二而一也。〕

其依垣者，

〔居圆锥之半也。〕

十八而一。

〔于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。

依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为

法也。〕

其依垣内角者，

〔角，隅也，居圆锥四分之一也。〕

九而一。

〔于徽术，当令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七

十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依

垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率。假令以三除周，

得径；若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。

母自相乘得九，为法，又当三而一，得方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方

幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃以三而一；今求

圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连

除，圆锥之积。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。

淳风等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百

三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕

程粟一斛积二尺七寸；

〔二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。〕

其米一斛积一尺六寸五分寸之一；

〔谓积一千六百二十寸。〕

其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三。

〔谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也。粟率五，米率三，

故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麦亦如本率云。故谓此三量器为概，

而皆不合于今斛。当今大司农斛，圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽术，

为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽铜斛于今尺为深九寸

五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有

奇。《周官·考工记》：朅氏为量，深一尺，内方一尺而圆外，其实一釜。于徽

术，此圆积一千五百七十寸。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四

升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟。”钟六斛四斗。釜六斗四升，方一尺，

深一尺，其积一千寸。若此方积容六斗四升，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠

五分龠之三也。以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一

百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。王莽铜斛与

《汉书·律历志》所论斛同。〕

今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：二丈。

术曰：置粟一万斛积尺为实。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺。

〔以广袤之幂除积，故得高。按：此术本以广袤相乘，以高乘之，得此积。

今还元，置此广袤相乘为法，除之，故得高也。〕

今有圆囷，

〔圆囷，廪也，亦云圆囤也。〕

高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。问周几何？答曰：五丈四尺。

〔于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。

淳风等按：依密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。〕

术曰：置米积尺，

〔此积犹圆堡昪之积。〕

以十二乘之，令高而一。所得，开方除之，即周。

〔于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高为法。所

得，开方除之，即周也。此亦据见幂以求周，失之于微少也。晋武库中有汉时王

莽所作铜斛，其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，

幂一百六十二寸；深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗，

方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分。深一寸，积一百六十二寸，容

一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今律历志同，

亦魏晋所常用。今粗疏王莽铜斛文字、尺、寸、分数，然不尽得升、合、勺之文

字。按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积。今还元，置此积，以

十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故

开方除之，即得也。

淳风等按：依密率，以八十八乘之，为实。七乘囷高为法。实如法而一。开

方除之，即周也。〕

卷六

○均输（以御远近劳费）

今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一

万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。

凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问粟、

车各几何？答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三

千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千

五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。

术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰。

〔按：此均输，犹均运也。令户率出车，以行道日数为均，发粟为输。据甲

行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车。计其在道，则

皆户一日出一车，故可为均平之率也。

淳风等按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数

约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲

县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率。未

并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数。一旬除乙，十三

除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。〕

甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数

乘未并者，各自为实。

〔衰，分科率。〕

实如法得一车。

〔各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十

七分日之三十一，故谓之均。求此户以率，当各计车之衰分也。〕

有分者，上下辈之。

〔辈，配也。车、牛、人之数不可分裂，推少就多，均赋之宜。今按：甲分

既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙。除之适尽。加乙、

丙各一，上下辈益，以少从多也。〕

以二十五斛乘车数，即粟数。

今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙

县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十

人，行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之，问

县各几何？答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。

丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。

术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。

〔按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言

欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。出一人者，计

役则皆一人一日，是以可为均平之率。〕

甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各

自为实。实如法而一。

〔为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有

数。此术以别，考则意同，以广异闻，故存之也。各置所当出人数，以其居所及

行道日数乘之，如县人数而一。得率：人役五日七分日之五。〕

有分者，上下辈之。

〔辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除

之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除，有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分，其

数正等，二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也。〕

今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二

千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一

斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，

至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。

凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户赋粟，令费劳

等，问县各粟几何？答曰：甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一

十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百

八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八

百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千

二百五十三。

术曰：以一里僦价乘至输所里，

〔此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱，

即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取

僦价也。〕

以一车二十五斛除之，

〔欲知僦一斛所用钱。〕

加一斛粟价，则致一斛之费。

〔加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也：甲一斛之费二十，乙、丙各

十八，丁二十七，戊十九也。〕

各以约其户数，为衰。

〔言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，

故可为均赋之率也。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近、贵贱之率。此二率

者，各自相与通。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之费谓之钱

率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也。若其

不然。以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分内子，约之，于算甚繁。此一

章皆相与通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已。又

以分言之，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一，各以户数乘之，

亦可得一县凡所当输，俱为衰也。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以

一斛之费约户数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之。约户，以乘户率

为衰也。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”反衰注曰：“先同其母，各以

分母约，其子为反衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也。〕

甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊

衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。

〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八

百七十三分钱之一千三百八十一。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五

斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。

甲自输其县，则无取僦之价。以一车二十五斛除之者，欲知僦一斛所用钱。加一

斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十

七，戊一十九。各以约其户，为衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三

百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十

八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为

所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。〕

今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百

七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百

二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七

百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十

算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十

六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆

输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之

间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等，问县各粟几何？答曰：

甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一

百三十三分斛之九，丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百

六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七

十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重，以乘道里，各自为实，实如法

得一日。

〔按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里用七十分日之一，重行一

里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。

完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、

重相乘者，同其母也。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五

为所有率，而今有之，即各得输所用日也。〕

加载输各一日，

〔故得凡日也。〕

而以六人乘之，

〔欲知致一车用人也。〕

又以佣价乘之，

〔欲知致车人佣直几钱。〕

以二十五斛除之，

〔欲知致一斛之佣直也