零的历史-第3部分

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　　　　在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个：　。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是　　　　，72是　　　　，你自己就能创造出剩下的：120是　　，137是：　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（2×60）＋　10＋7　　　　
　　　　=120　　　　
　　　　等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，　　　　
　　　　你写得出来吗：　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（3×60）＋30＋7？　　　　
　　　　=180　　　　
　　　　注意楔形的大小是很重要的：62　　　和3　　　的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？　　　　
　　　　直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小，　　　　　　　　　　总是表示202：3个60，2个10另加2。　　　　　表示182：3×60＋2。　　　　
　　　　这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）＋（5×10）＋（4×1）一样，　　　　
　　　　　　　表示是62，但　　　　表示是3　661；　　　　
　　　　↑　↑↑↑↑　　　　
　　　　　（1×60）＋　2　（1×602）＋（1×60）　＋　1　　　　
　　　　和　　　　
　　　　　　　　　　　　是754。　　　　
　　　　↑↑　　　　
　　　　　（12×60）　＋34　　　　
　　　　=720　　　　
　　　　这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示　　　　　　　　　　　）　　　　
　　　　↑　↑　　　　
　　　　（33×60）＋　19　　　　
　　　　=1　980　　　　
　　　　而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法　　　　
　　　　43　　　　
　　　　　＋14　　　　
　　　　57　　　　　
　　　　是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。　　　　
　　　　对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，　　　　
　　　　　　　　　
　　　　但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做　　　　
　　　　82　　　　
　　　　　＋41　　　　
　　　　　123　　　　　
　　　　（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　6个10是1个60，3个单位　　　　
　　　　再加上原来已经存　　　　
　　　　在的1个60　　　　　
　　　　我们就得到2个60　　　　
　　　　对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。　　　　
　　　　索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。”　引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180：　　　和3：　　　呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。　　　　
　　　　但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号　　，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此　　　　
　　　　　　　=125　　　　
　　　　↑↑　　　　
　　　　　（2×60）＋5　　　　
　　　　但是　　　　　=7205　　　　
　　　　　↑↑↑　　　　
　　　　（2×602）＋（0×60）　＋5　　　　
　　　　=7　200　　　　
　　　　正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：　　　　
　　　　　　和　甚至是　或者　。　　　　
　　　　在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？　　　　
　　　　然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。　　　　
　　　　正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。　　　　
　　　　在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。


第一部分　透视零第6节　希腊人没有这个字（1）

　　　　为什么解决零的表示问题的过程如此旷日持久呢？为什么这以后使用零的步伐仍踌躇不前呢？为什么已经浮出水面又没入水中，若隐若现？原因在于我们思想与语言相互转化的方式，和由此产生的困惑，不管是过去还是现在。这也是一种娱乐，想想我们从格什温（Gershwin）的诗里得到乐趣　　　　
　　　　我得到了足够的零，　　　　
　　　　但是一个已足够。　　　　
　　　　我们怀着强烈的兴趣，反复思考这句看似荒诞不经的话，品位它表面与内涵的不同。　　　　
　　　　这种似是而非的说法在古代迅速成为流行。公元前十八世纪末的某个时候，编辑整理《奥德赛》（Odyssey，古希腊荷马所作史诗，汉语意思是指长期的冒险旅行——译者注）的歌唱家在奥德修斯（Odysseus，《奥德赛》中的主人公——译者注）刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯（Polyphemos，独眼巨人之一）的故事中研究过它，独眼巨人（Cyclops，独眼巨人家族的任何一个，在这里指波吕斐摩斯，据说从这些泰坦Titans传下来，居住在西西里岛，只有一只眼睛的神——译者注）吃掉了奥德修斯的几个同伴，要不是奥德修斯骗过了他，并刺瞎他的眼睛，剩下的同伴也会成为他的盘中餐。　　　　
　　　　奥德修斯让波吕斐摩斯喝下烈酒，当独眼巨人叫道：　　　　
　　　　“再给我一些酒，立刻把你的名字告诉我，以便让我给你一件奇异的礼物让你　　　　
　　　　称心如意。”　　　　
　　　　奥德修斯一次又一次倒满他的酒碗，说：　　　　
　　　　“巨人，你想知道我显赫的名字，但是我要求你　　　　
　　　　遵守诺言，给我这份奇异的礼物。　　　　
　　　　事实上，我的名字叫‘没有人＇　　，Outis＇’。我的父亲和母亲叫我‘没有人’，同伴也这么叫我。”　　　　
　　　　他这么一说，波吕斐摩斯立刻残忍地说：　　　　
　　　　“‘没有人’，我先吃掉他的同伴，最后再吃‘没有人’，这就是我给你的奇异　　　　
　　　　的礼物。”　　　　
　　　　一等巨人醉倒昏迷过去，奥德修斯和他的同伴们就用尖树桩刺瞎了他的眼睛，波吕斐摩斯发出了痛苦的喊叫声，别的独眼巨人都跑来了，他们在他封闭的洞穴前向他呼喊：　　　　
　　　　“波吕斐摩斯，你为什么被人战胜？　　　　
　　　　在这样神圣的夜晚，你的叫声让我们无法入睡。　　　　
　　　　不可能有人敢不顾你的反对正带走你的羊群吧？　　　　
　　　　不可能有人正在用诡计或暴力伤害你吧？”　　　　
　　　　残暴的波吕斐摩斯在洞穴中跟他们说：　　　　
　　　　“我的朋友们啊，‘没有人’正在用诡计和暴力伤害我。”　　　　
　　　　他的朋友们听到这个以后，劝说他要耐心承受上帝给予的一切，便回到自己的洞穴中。所以奥德修斯和他的同伴们一边逃跑一边嘲笑瞎眼的巨人。　　　　
　　　　你一定会认为，这个能够整理和津津乐道这样一个笑话的人给“无”一个名字，并象奥德修斯对巨人所做的那样灵活使用“无”也是轻而易举的。但是，在荷马时代或古希腊都没有零的踪迹，事实上，直到亚历山大时代（这个笑话已经不复辉煌的时候）也没有。如果在你面前看不到或思想中也不存在计算板的数位，一个数位上的筹码已经满了要进到前一位而留下一个空白在后面——如果你没有符号来代表那些空的或填满的位置，并从你熟练的操作中创造一种语言——那么你就不可能超越你的手工，竭尽可能做的就是：吸取并简化眼睛能看到的，然后对它们进行升华。　　　　
　　　　荷马（Homer）时代的希腊人以10（有时以5）来进行分组，以这些词的第一个字母来代表数字符号，象罗马人后来做的那样从左向右成串地写下这样的符号，所以318就是300＋10＋5＋3　　　　
　　　　HHHΔΠⅢ　　　　
　　　　↑↑↑↑　　　　
　　　　3×H＋1×Δ　＋1×Π＋3　　　　
　　　　这里，H，Δ和Π分别为Hekatm（100），Deka（10），Pente（5）的第一个字母。　　　　
　　　　没有位置符号，因此后来就有了罗马人所遭遇的估算时的所有不幸。更糟的是：那些早期希腊人没有把数字从他们的计数中完全抽象出来，因此，偶尔地代表货币单位与数量的符号会合成在一起：他们写　而不是HT来代表100塔兰特（T）。就象我们写代表一美元，写　表示11美元，让随意涂鸦作装饰品来引导我们，而不是描画特别抽象出来的符号。　　　　
　　　　在5世纪的雅典（Athens），高度发达的希腊文明时期，一场我们无法知道原因的改革席卷而来。它使希腊字母表中的24个字母加上另外3个字母分别代表数字的前9（1—9），然后是前90（10—90），前900（100—900）。所以10的符号是ι（iota，希腊语第9个字母），扩展后的字母表中第10个字母；11是ια——但是第11个字母κ代表20。这时10个一组的表示方法完全被掩盖了，例如318变成了　　　　
　　　　　　　　　
　　　　第21个字母τ第10个字母ι第8个字母η　　　　
　　　　即第3个100即第1个10即8　　　　
　　　　画在它们上边的那条线就是把这个数目与一个可能的词语区别开来（在这种情况下，τιη表示why（为什么））。这种混乱会变得更严重吗？会，而且事实正是如此：不同的时期，不同地点，混乱不是在减少，相反而是在上升，而在有些时候，所有的规则都会被忽视。装饰性又一次推动了这种计数方法吗？或者只是一种希腊人的固执精神？　　　　
　　　　不管什么原因，位置符号的缺少意味着他们仍然没有代表零的符号。可能是亚历山大时代的希腊人发现了零在计数中扮演的重要角色，在公元前331年，他们侵略了巴比伦帝国，除了掳走了妇女和金子，还带走了零，在他们公元前3世纪的天文学著作中发现了用符号O表示零。为什么是这个中空的圆？它来自哪里？我们知道，一个时期内书面上使用两个巴比伦的楔形。可以想象，希腊人把这个“舶来品”铸在自己的硬币上。这一切确切地发生在哪里，什么时候都无从查考，证据已经随时光灰飞烟灭。但是人类总是设法去回答更困难和更有趣的“为什么”的问题。象托马斯•；布朗（Thomas　Browne）爵士曾经说过的：“塞壬（Siren；一群女海妖之一，用她们美妙的歌声诱惑船只上的海员，从而使船只在岛屿周围触礁沉没——译者注）唱的是什么歌？虽然令人迷惑不解，但不能制止我们去猜想。”当然，在研究这个问题的书中不乏猜想，却象前一年秋天脆弱的落叶一样不堪推敲，还有埋葬在摩洛哥陵墓中的文章和德国人辛勤留下的手稿，都对这个问题作了猜想。　　　　
　　　　最普通的解释是零来自希腊文的第15个词，ουδευμ的第一个字母，意思是“没有东西”。象奥德修斯的名字　，或仅仅源于ουτ，“不”，象我们的“无”，可以看出，荷马时代的体系中，很多符号都来源于数字名的第一个字母，我认为这种解释仅有点沾边的证据，在后来的希腊，ουδευ变为μη　δε。十五世纪拜占庭（Byzantine东罗马帝国时期）时期的希腊文中，我们发现一个有点象μ的符号ч来表示零。　　　　
　　　　这整个解释被一位希腊天文学的权威草率地推翻了，因为希腊人已经给奥米克戎（omicron希腊语的第15个词）O赋值为70，他说，这里的符号是一种随意的抽象。或许是；但是在希腊数学中，由于首字母缩略字的原因，圆圈至少还出现了两次。活跃在公元3世纪亚历山大时期伟大的数学家丢番图（Diophantus），选