九章算术-第13部分

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以正负术入之。

〔此入，头位异名相除者，正无入正之，负无入负之也。〕

今有令一人，吏五人，从者一十人，食鸡一十；令一十人，吏一人，从者五

人，食鸡八；令五人，吏一十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几

何？答曰令一人食一百二十二分鸡之四十五。吏一人食一百二十二分鸡之四十一。

从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

术曰：如方程。以正负术入之。

今有五羊，四犬，三鸡，二兔，直钱一千四百九十六；四羊，二犬，六鸡，

三兔，直钱一千一百七十五；三羊，一犬，七鸡，五兔，直钱九百五十八；二羊，

三犬，五鸡，一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价

一百七十七。犬价一百二十一。鸡价二十三。兔价二十九。

术曰：如方程。以正负术入之。

今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗，

麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗，麦五斗，菽七斗，

荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗，麦五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗，

直钱一百一十二；麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。问

一斗直几何？荅曰：麻一斗七钱。麦一斗四钱。菽一斗三钱。荅一斗五钱。黍一

斗六钱。

术曰：如方程。以正负术入之。

〔此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事。其拙于精理徒按本术者，

或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗

于设通而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者，

庖丁解牛，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁

之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事，按法皆不尽一百算也。虽布算

不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论

其设动无方，斯胶柱调瑟之类。聊复恢演，为作新术，著之于此，将亦启导疑意。

网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉。

方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其

求一行二物正负相借者，是其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相

借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也。更置

成行及其下实，各以其物本率今有之，求其所同。并，以为法。其当相并而行中

正负杂者，同名相从，异名相消，余，以为法。以下置为实。实如法，即合所问

也。一物各以本率今有之，即皆合所问也。率不通者，齐之。

其一术曰：置群物通率为列衰。更置成行群物之数，各以其率乘之，并，以

为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘

列衰，各自为实。实如法而一，即得。

以旧术为之。凡应置五行。今欲要约，先置第三行，减以第四行，又减第五

行；次置第二行，以第二行减第一行，又减第四行。去其头位；余，可半；次置

右行及第二行。去其头位；次以右行去第四行头位，次以左行去第二行头位，次

以第五行去第一行头位；次以第二行去第四行头位；余，可半；以右行去第二行

头位，以第二行去第四行头位。余，约之为法、实。实如法而一，得六，即有黍

价。以法治第二行，得荅价，右行得菽价，左行得麦价，第三行麻价。如此凡用

七十七算。

以新术为此。先以第四行减第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下

位，又以减左行下位，不足减乃止；次以左行减第三行下位，次以第三行去左行

下位。讫，废去第三行。次以第四行去左行下位，又以减右行下位；次以右行去

第二行及第四行下位；次以第二行减第四行及左行头位；次以第四行减左行菽位，

不足减乃止；次以左行减第二行头位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行

头位，次以第二行去左行头位，余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅；次以

左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止；次以右行减第二行

头位，不足减乃止；次以第二行去右行头位，次以左行去右行头位；余，上得六，

下得五，是为荅六当黍五；次以左行去右行荅位，余，约之，上为二，下为一；

次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位；次，左行去

第二行下位，余，上得三，下得四，是为麦三当菽四；次以第二行减第四行下位；

次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是为麻四当麦七。是为相当之

率举矣。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四；又麦三当菽四，即为麦价率四

而菽价率三；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五；又荅六当黍五，即为荅

价率五而黍价率六；而率通矣。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗，菽四

斗正，荅三斗负，下实四正。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数，

如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为

麻。以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实，

而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣以法除得七，即麻一斗之价。置麦率

四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法。所得即

各为价。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。并，

以为法。如此，即无正负之异矣，择异同而已。又可以一术为之。置五行通率，

为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六，以为列衰。成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗

负，各以其率乘之。讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所

得各为实。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价。如此则凡用一百二十

四算也。〕

卷九

○句股（以御高深广远）

今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。

今有弦五尺，句三尺，问为股几何？答曰：四尺。

今有股四尺，弦五尺，问为句几何？答曰：三尺。

句股

〔短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。将以施于诸

率，故先具此术以见其源也。〕

术曰：句、股各自乘，并，而开方除之，即弦。

〔句自乘为朱方，股自乘为青方。令出入相补，各从其类，因就其余不移动

也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。〕

又，股自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即句。

〔淳风等按：此术以句、股幂合成弦幂。句方于内，则句短于股。令股自乘，

以减弦自乘，余者即句幂也。故开方除之，即句也。〕

又，句自乘，以减弦自乘。其余，开方除之，即股。

〔句、股幂合以成弦幂，令去其一，则余在者皆可得而知之。〕

今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？答曰：二尺四寸。

术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之。其余，开方除之，即广。

〔此以圆径二尺五寸为弦，版厚七寸为句，所求广为股也。〕

今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？

答曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。

〔据围广，求从为木长者其形葛卷裹袤。以笔管，青线宛转，有似葛之缠木。

解而观之，则每周之间自有相间成句股弦。则其间葛长，弦。七周乘围，并合众

句以为一句；木长而股，短；术云木长谓之股，言之倒。句与股求弦，亦无围。

弦之自乘幂出上第一图。句、股幂合为弦幂，明矣。然二幂之数谓倒在于弦幂之

中而已。可更相表里，居里者则成方幂，其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。

又按：此图句幂之矩青，卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方

其里。股幂之矩青，卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。

是故差之与并用除之，短、长互相乘也。〕

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭

长各几何？答曰：水深一丈二尺。葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，

〔此以池方半之，得五尺为句；水深为股；葭长为弦。以句、弦见股，故令

句自乘，先见矩幂也。〕

以出水一尺自乘，减之。

〔出水者，股弦差。减此差幂于矩幂则除之。〕

余，倍出水除之，即得水深。

〔差为矩幂之广，水深是股。令此幂得出水一尺为长，故为矩而得葭长也。〕

加出水数，得葭长。

〔淳风等按：此葭本出水一尺，既见水深，故加出水尺数而得葭长也。〕

今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？

答曰：一丈二尺六分尺之一。

术曰：以去本自乘，

〔此以去本八尺为句，所求索者，弦也。引而索尽、开门去阃者，句及股弦

差，同一术。去本自乘者，先张矩幂。〕

令如委数而一。

〔委地者，股弦差也。以除矩幂，即是股弦并也。〕

所得，加委地数而半之，即索长。

〔子不可半者，倍其母。加差者并，则两长。故又半之。其减差者并，而半

之，得木长也。〕

今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几

何？答曰：五丈五寸。

术曰：以垣高一十尺自乘，如却行尺数而一。所得，以加却行尺数而半之，

即木长数。

〔此以垣高一丈为句，所求倚木者为弦，引却行一尺为股弦差。为术之意与

系索问同也。〕

今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？

答曰：材径二尺六寸。

术曰：半锯道自乘，

〔此术以锯道一尺为句，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半。锯道长是半

也。

淳风等按：下锯深得一寸为半股弦差。注云为股差差者，锯道也。〕

如深寸而一，以深寸增之，即材径。

〔亦以半增之。如上术，本当半之，今此皆同半，故不复半也。〕

今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？答曰：一丈一寸。

术曰：以去阃一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半，

即得门广。

〔此去阃一尺为句，半门广为弦，不合二寸以半之，得一寸为股弦差。求弦，

故当半之。今次以两弦为广数，故不复半之也。〕

今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？答曰：广

二尺八寸。高九尺六寸。

术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实。半其余，以开方除

之。所得，减相多之半，即户广；加相多之半，即户高。

〔令户广为句，高为股，两隅相去一丈为弦，高多于广六尺八寸为句股差。

按图为位，弦幂适满万寸。倍之，减句股差幂，开方除之。其所得即高广并数。

以差减并而半之，即户广。加相多之数，即户高也。今此术先求其半。一丈自乘

为朱幂四、黄幂一。半差自乘，又倍之，为黄幂四分之二，减实，半其余，有朱

幂二、黄幂四分之一。其于大方者四分之一。故开方除之，得高广并数半。减差

半，得广；加，得户高。又按：此图幂：句股相并幂而加其差幂，亦减弦幂，为

积。盖先见其弦，然后知其句与股。今适等，自乘，亦各为方，合为弦幂。令半

相多而自乘，倍之，又半并自乘，倍之，亦合为弦幂。而差数无者，此各自乘之，

而与相乘数，各为门实。及股长句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦幂五

十，开方除之，得七尺，有余一，不尽。假令弦十，其幂有百，半之为句、股二

幂，各得五十，当亦不可开。故曰：圆三、径一，方五、斜七，虽不正得尽理，

亦可言相近耳。其句股合而自相乘之幂者，令弦自乘，倍之，为两弦幂，以减之，

其余，开方除之，为句股差。加于合而半，为股；减差于合而半之，为句。句、

股、弦即高、广、邪。其出此图也，其倍弦为袤。令矩句即为幂，得广即句股差。

其矩句之幂，倍句为从法，开之亦句股差。以句股差幂减弦幂，半其余，差为从

法，开方除之，即句也。〕

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？答曰：四尺二十分尺

之一十一。

术曰：以去本自乘，

〔此去本三尺为句，折之余高为股，以先令句自乘之幂。〕

令如高而一。

〔凡为高一丈为股弦并，以除此幂得差。〕

所得，以减竹高而半余，即折者之高也。

〔此术与系索之类更相反覆也。亦可如上术，令高自乘为股弦并幂，去本自

乘为矩幂，减之，余为实。倍高为法，则得折之高数也。〕

今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙

会。问甲、乙行各几何？答曰：乙东行一十步半，甲斜行一十四步半及之。

术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲斜行率。斜行率减于七自乘，

余为南行率。以三乘七为乙东行率。

〔此以南行为句，东行为股，斜行为弦，并句弦率七。欲引者，当以股率自

乘为幂，如并而一，所得为句弦差率。加并之半为弦率，以差率减，余为句率。

如是或有分，当通而约之乃定。术以同使无分母，故令句弦并自乘为朱、黄相连

之方。股自乘为青幂之矩，以句弦并为袤，差为广。今有相引之直，加损同上。

其图大