九章算术-第9部分

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又以佣价乘之，

〔欲知致车人佣直几钱。〕

以二十五斛除之，

〔欲知致一斛之佣直也。〕

加一斛粟价，即致一斛之费。

〔加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。〕

各以约其算数为衰，

〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰

十六。于今有术，副并为所有率，未并者各自为所求率，所赋粟为所有数。此今

有、衰分之义也。〕

副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。

〔各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率：算出九钱一百三

十三分钱之三。又载输之间各一日者，即二日也。〕

今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为米，

令米数等。问取粟、为米各几何？答曰：粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之

七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。

术曰：列置粝米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。

〔此先约三率：粝为十，粺为九，为八。欲令米等者，其取粟：粝

率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。当齐其子，故曰反衰也。

淳风等按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、少而粝多；

用粟，则粺、多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率，故今反衰之，使

精取多而粗得少。〕

副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。

〔于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有

之，故各得取粟也。〕

若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。

〔若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；

米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即

为米斗数。〕

今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？答

曰；米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。

术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置

米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。

〔淳风等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一

之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。

并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故

云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于

今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有

数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米

一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、

菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。〕

今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升，

行八十里。问与钱几何？答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。

术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。

〔按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万

里，得钱四十。于今有术，为所有率。〕

以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。

〔以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四

十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕

今有负笼重一石，行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步，

问返几何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。

术曰：以今所行步数乘今笼重斤数，为法。

〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕

故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。

〔按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者一斤一日所行之积步。故以一

返之课除终日之程，即是返数也。

淳风等按：此术，所行步多者得返少，所行步少者得返多。然则故所行者今

返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此

负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、

实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。

力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此

术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之

数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛行四十里。减重一斗进二里半，

负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问返几何？答曰：一百

五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如

法而一，即得也。〕

今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五

日三返，问太仓去上林几何？答曰：四十八里一十八分里之一十一

术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，

为实。实如法得一里。

〔此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日

为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今

求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率，

以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。

各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往

空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐

而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十

五里之路，往返用六日。故并空、重者，并齐也；空、重相乘者，同其母也。于

今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返

之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。〕

今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一

斤，问本络丝几何？答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。

术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤

两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。

〔按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。

又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率

三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之

数也。又以络率十六乘之，所得为实；以练率十二为法。所得，即练丝用络丝之

数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并

除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十

二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一

十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同

其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝

一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此，

但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言

同其二练者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢

数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以

络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。〕

今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问恶粟几何？

答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。

术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶

粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。

〔按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即

粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重

今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘

前法而并除之也。〕

今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者

追之。问几何步及之？答曰：二百五十步。

术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者

之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。

〔按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行

一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一

百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。〕

今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善

行者几何里及之？答曰：三十三里少半里。

术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善

行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。

〔按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓

之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，

即得也。其意如上术也。〕

今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行

几何步及之？答曰：一百七步七分步之一。

术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘

犬追步数为实。实如法得一步。

〔按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百

五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步

为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。〕

今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。

问金一斤值钱几何？答曰：六千二百五十。

术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法

得一钱。

〔按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者

也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金值也。今术既以十二斤为所税，

则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，

十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕

今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，

与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。

术曰：置四分日之三，除三分日之一，

〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有

十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕

半其余，以为法。

〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人

与客均行用日之率也。〕

副置法，增三分日之一。

〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之

前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。

是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。

母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，

十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕

以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。

〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，

得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用

日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕

今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重

几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤

八两。次一尺重四斤。

术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。

副置，以差率减之，每尺各自为衰。

〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以

四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。

今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上

第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕

副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。

〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘

一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为

法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕

今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱

六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之

四。

术曰：置钱，锥行衰。

〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，